Le coefficient d’aversion au risque

Quand Harry Max Markowitz introduisit, dans les années 50, le concept de risque dans un portefeuille, il inventa en quelque sorte la gestion moderne d’un portefeuille de titres. Son apport a été déterminant pour le développement subséquent des théories modernes de gestion. Le principe fondamental qu’il a établi est la quantification du risque de rendement d’un portefeuille.

Le risque s’appelle aussi écart-type du rendement, ou encore volatilité du rendement. En définitive, l’objectif est de répondre à la question : Est-ce que le rendement du portefeuille a été uniforme au cours des années, ou a-t-il subi des variations importantes  ? Plus il a varié d’une année à l’autre et plus le rendement espéré est difficile à prévoir, plus grand est le niveau de risque dans ce portefeuille comparativement à un portefeuille dont le rendement annuel est presque toujours le même.

FRONTIÈRE EFFICIENTE

Markowitz est allé beaucoup plus loin. Il a également introduit le concept de frontière efficiente. Par exemple, dans un portefeuille de deux titres dans lequel les mouvements de cours d’un titre peuvent ne pas influencer totalement ceux de l’autre, et dont on connaît pour chacun les rendements et la volatilité, on est capable de calculer le pourcentage de présence de chaque titre pour avoir le maximum de rendement avec le minimum de risque.

Sur le schéma en page suivante, le point A représente le minimum de risque (l’axe horizontal) d’un portefeuille et son rendement espéré correspondant (l’axe vertical). L’application de formules mathématiques donne comme résultat le pourcentage de chaque composante dans le portefeuille. La partie de la courbe qui va de A à B indique des portefeuilles optimaux dans lesquels un rendement plus élevé s’accompagne d’un risque plus élevé au fur et à mesure qu’on va vers B : donc l’investisseur peut choisir, selon son niveau de tolérance au risque, le portefeuille qui lui convient le mieux. Tous les portefeuilles qui vont de A à B sont optimaux. À l’intérieur de la surface ABC, les portefeuilles indiquent un risque proportionnellement plus élevé sans un rendement optimal. Par exemple, au point C, on aura un grand risque avec un rendement très bas.D’un point de vue objectif et rationnel, tout investisseur peut choisir la composition en pourcentage de A à B avec un portefeuille idéal : le minimum de risque pour le niveau de rendement choisi.

La question qui se pose ici est celle du niveau de risque que l’investisseur est capable d’assumer. C’est la plus difficile parce que la réponse est subjective. En effet, le portefeuille idéal, même celui au point A, pourrait représenter un risque plus grand que celui que l’investisseur est capable d’endosser.

Comment mesurer l’aversion au risque d’un investisseur ? Plusieurs méthodes qualitatives, faisant appel à la psychologie, suggèrent de déterminer le niveau de risque le plus approprié pour un investisseur : combien investir en actions, en obligations et dans le marché monétaire. Il y a des tests qui aident à déterminer le profil psychologique de l’investisseur, comme le PASS de W.G. Droms, ou celui de Baillard, Biehl, Kaiser (qui classe les investisseurs entre confiants et anxieux, prudents et impétueux), celui de Barnewal (entre investisseurs passifs et actifs), celui de Bonpian (avec ses huit types d’investisseur), etc. La plus ancienne règle est basée sur l’équation suivante : 100 – mon âge = % à investir en actions (lesquelles représentent un investissement plus risqué que celui en obligations).

Il existe une autre méthode, quantitative cette fois, fort pratique. On attribue à un investisseur un chiffre, allant de 1 à 5 : cinq représente l’aversion maximale au risque alors que 1 représente le minimum d’aversion. On l’identifie avec la lettre A et il représente ce qu’on appelle le coefficient d’aversion au risque.

On utilise la formule suivante : U = E(r) – 0,5 x A x σ 2

Dans cette formule, U représente l’utilité, c’est-à-dire le score à donner à cet investissement dans un portefeuille donné en le comparant à un investissement sans risque, comme celui en bons du Trésor.

E(r) est le rendement espéré du portefeuille et σ2 (sigma au carré) est le carré de la volatilité (le carré du risque du portefeuille comme défini plus haut).

La partie de l’équation à la droite du signe « moins » indique le risque de la stratégie en soi en tenant compte aussi de l’aversion au risque de l’investisseur. Donc la formule dans son ensemble nous donne la différence entre le rendement global espéré d’un portefeuille et le risque. En effet, en soustrayant au rendement espéré E(r) le risque, il nous reste le rendement d’un investissement sans risque.

Voici deux exemples :

Exemple 1 :

Taux d’intérêt sans risque (investissement en bons du Trésor) : 3 %

Rendement espéré du portefeuille : 6 %

Coefficient d’aversion au risque : 2

Volatilité du rendement du portefeuille : 16 %

En appliquant la formule on obtient :

Score de l’utilité de l’investissement = 0,06 – 0,5 x 2 x 0,162 = 3,44 %.

Ce résultat signifie qu’en enlevant le risque du portefeuille (adapté à l’aversion au risque de l’investisseur) au rendement espéré, il reste un rendement sans risque (3,44 %) supérieur à celui des bons du Trésor (3 %) : donc l’investissement dans ce portefeuille est meilleur que l’investissement équivalent dans des bons du Trésor, à parité de risque. On peut aussi dire que le U le plus élevé parmi différents portefeuilles en compétition identifie le meilleur portefeuille.

Exemple 2 :

Taux d’intérêt sans risque (investissement en bons du Trésor) : 3 %

Rendement espéré du portefeuille : 6 %

Coefficient d’aversion au risque : 3

Volatilité du rendement du portefeuille : 16 %

En appliquant la formule on obtient :

Score de l’utilité de l’investissement = 0,06 – 0,5 x 3 x 0,162 = 2,16 %.

Ce résultat signifie qu’en enlevant le risque du portefeuille (adapté à l’aversion au risque de l’investisseur) au rendement espéré, il reste un rendement sans risque (2,16 %) inférieur à celui des bons du Trésor (3 %) : donc l’investissement dans ce portefeuille est moins intéressant que l’investissement équivalent dans des bons du Trésor, à parité de risque.

Naturellement, reste toujours le problème de la réponse à la question : Quelle valeur A doit-on attribuer à un investisseur  ? Souvent, les investisseurs sont neutres face au risque : ils regardent surtout le rendement, alors que d’autres aiment le risque. Mais dans le doute, les tests de profil psychologique peuvent aider au classement.

Charles K. Langford, Ph. D., Fellow CSI, est président de Charles K. Langford Inc., gestion de portefeuilles, et enseigne la théorie financière et l’utilisation des dérivés dans la gestion d’actifs et passif à l’École des sciences de la gestion (UQÀM).

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• Ce texte est paru dans l’édition de mai 2015 de Conseiller. Il est aussi disponible en format PDF. Vous pouvez également consulter l’ensemble du numéro sur notre site Web.